T 11. División de una circunferencia en partes iguales (polígonos regulares).

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES.
(Obtención de polígonos regulares conocida la circunferencia que los circunscribe)

   
   Esta entrada sobre división de una circunferencia vale para todos los niveles de ESO y de bachillerato. Para cada nivel se exigirá un problema u otro en clase.

   Introducción.

   La definición más típica de circunferencia es la curva cerrada y plana en la que todos sus puntos mantienen una misma distancia respecto a un punto llamado centro.

 

  Los elementos más significativos de una circunferencia, tal como vemos en la imagen inferior, son:

1. El centro de la circunferencia. Se suele designar con la letra O.

2. El radio: es la distancia que existe desde un punto cualquiera de la circunferencia al centro O.

3. El diámetro: es el segmento que pasa por el centro y que abarca dos puntos de la circunferencia. Mide el doble magnitud que el radio.

4. Cuerda. Cualquier segmento que abarque dos puntos de la circunferencia.

5. Arco: cualquier porción de circunferencia. En el caso de la imagen inferior,el arco que abarca los puntos a y b.

  
 La división de una circunferencia en partes iguales resulta muy útil, pues es un buen instrumento para la construcción de polígonos regulares entre otras formas geométricas, ya que podemos obtenerlos uniendo las divisiones de la circunferencia con segmentos, siendo estos cuerdas de la circunferencia, los cuales serían los lados del polígno buscado. Mostramos a continuación un ejemplo con la división en 12 partes iguales de una circunferencia. Obtendríamos así un dodecágono regular.

   A continuación vamos a tratar de la división de la circunferencia en un número determinado de partes iguales.

   1. División de una circunferencia en tres y seis partes iguales.

1. Trazamos un diámetro vertical AB.

2. Con centro en el extremo B y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco , que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Tendremos así los puntos A, C y D quedando ya dividida la circunferencia en tres partes iguales. Uniendo dichos puntos tendríamos un triángulo equilátero.

3. Repetimos la misma operación con centro en el punto A, y obtenemos los puntos E y F.

4. Los puntos A,B,C,D,E y F son las divisiones de la circunferencia 1,2, 3, 4, 5, y 6. Uniendo todos los puntos con segmentos, obtendríamos un hexágono regular.

   2. División de una circunferencia en cuatro y ocho partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular al anterior, CD. Tendremos ya dividida la circunferencia en cuatro partes iguales, A,B,C y D. Uniendo dichos puntos con segmentos obtendríamos un cuadrado.
    Trazamos a continuación la bisectriz al cuadrante (ángulo recto) COB, con el fin de dividir por la mitad el arco BC. Obtendremos así el punto E. Si unimos el punto E con el centro O y prolongamos la unión, obtendremos F, punto que divide al arco AD en dos partes iguales también.

3. Hacemos la misma operación con el arco CA para obtener las divisones G y H. Hemos pasado, pues, de cuatro divisiones a ocho divisiones.

4. Lospuntos A,B,C,D,E.F,G y H son las ocho divisiones iguales de la circunferencia. Si los unimos con segementos obtendríamos un octógono regular.

   3. División de una circunferencia en cinco partes iguales.

1. Trazaremos  un diámetro preferentemente horizontal, AB.

2. Trazamos un diámetro perpendicular al primero. Y trazamos la mediatriz del radio OB que nos sale, con el fin de hallar M, punto centro de ese radio.

3. Con centro en M y radio MC, trazamos un arco de circunferencia hasta obtener el punto D en el diámetro.

4. La distancia CD es justo una quinta parte de la circunferencia. Si hacemos centro con el compás en el punto C, que será el punto 1, llevamos esa cantidad de 1/5 y la repartimos por la circunferencia, esta quedará dividida en cinco partes exactamente iguales y podremos construir, uniendo las divisiones con segmentos, un pentágono regular.

   4. División de una circunferencia en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

3. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos E y F.

4. Al unir los punto E y F, obtendremos un segmento que cortará al diámetro horizontal en el punto G. La distancia G E, es justo un séptimo de la circunferencia. Basta que comencemos a llevarnos dicha distancia desde el punto C (que será el punto 1) para que se divida la circunferencia en siete partes iguales. Si unimos las divisiones con segmentos, obtendríamos un heptágono regular.

  5. División de una circunferencia en nueve partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto C y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en un punto que llamaremos E. 
3. Ahora, con centro en el otro extremo D del diámetro vertical y  radio igual a  DE trazaremos otro arco que nos cortará a la prolongación del diámetro horizontal AB en un punto que llamaremos F.

4.  Con centro en el punto F y radio FC, trazamos nuevamente otro arco de circunferencia, el cual cortará al diámetro AB en el punto G. La distancia AG es justo la novena parte de la circunferencia. Basta repetir nueve veces la cantidad para que nos quede dividida la circunferencia en nueve partes iguales.

6. División de una circunferencia en diez partes iguales.

 

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos que llamaremos E y F. La recta que pasa por esos puntos es la mediatriz del radio y lo dividirá en el punto M.
3.  Con centro en el punto M y radio MC trazamos un arco de circunferencia que cortará al diámetro AB en un punto (no viene nombrado).
4. la distancia entre ese punto y el centro de la circunferencia es la décima parte. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividida en diez partes iguales.



7. División de una circunferencia en once partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Con centro en el extremo A del diámetro AB y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que cortará a esta en el punto F.
3. Con centro en el extremo D del diámetro CD trazaremos otro arco de igual radio que el de la circunferencia, el cual cortará a esta  en el punto E.
4. Con centro en el punto E y radio igual a EF trazaremos un arco de circunferencia que cortará al diámetro CD en el punto G. La distancia entre el punto F y el punto G es justo un onceavo de la circunferencia. No se ha dibujado el segmento para que se vea claro el dibujo. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividiva en once partes iguales.



 8. División de una circunferencia en doce partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal de extremos 1 y 2. Trazamos otro perpendicular (vertical) de extremos 2 y 4. (Los hemos nombrado con números porque ya son divisiones de la circunferencia).

2.  Con centro en la división 4 y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco de circunferencia que al cortar la la circunferencia nos determina las divisiones 5 y 6.

3. Hacemos la misma operación en la división 1, obteniéndose las divisiones 5 y 6.

4. Repetimos la operación con las divisiones 2 y 3, obteniendo las divisiones 9, 10, 11 y 12.

   

 9 . Método general de división de una circunferencia en cualquier número de partes iguales.

    El método general es un método prácticvo en el sentido de que solo habría que memorizar este método para hacer cualquier división, pero no es un método exacto, sino aproximado.

    A continuación ofrecemos un ejemplo pra dividir en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Dividimos el dámetro vertical AB en tantas partes iguales como querramos dividir la circunferencia. En este caso hemos escogido siete partes, con el objeto de dibujar luego un heptágono regular.

3. Con centro en el extremo A del diámetro AB, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a dicho diámetro. Prolongamos también el diámetro CD. Dicho arco cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto E.

4. Trazamos una recta que pase por el punto E y por la segunda división que hemos hecho al diámetro AB. Siempre se escoge la segunda división sea cual sea el número de partes iguales con que querramos dividir la circunferencia. Dicha recta cortará a la circunferencia en un punto que será la séptima parte.

PARA TERMINAR.

 Se puede descargar una hoja con los dibujos de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 en este enlace:

https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD 

 Se puede descargar una hoja con los ejercicico 5, 6, 7 y 8 en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1K1QQEgQSyYsdaRipNklGQdSlF1L6Cpbd/view?usp=sharing 

TB 15. El dibujo "a tres tizas". 2º ESO

EL DIBUJO A TRES TIZAS.

  Recordemos que el claroscuro es la técnica pictórica que consistía en disponer de manera adecuada las luces y las sombras en un dibujo o pintura, usando degradaciones de tonos de diferentes valores, generalmente para expresar el efecto de volumen. Podemos visitar nuevamente el tema en este enlace de este mismo blog https://dibutodo.blogspot.com.es/2017/10/tb14-el-claroscuro-2-de-eso.html

  Existe una técnica tradicional de dibujo artístico llamada dibujo aux trois crayons, traducible como "a las tres tizas", consistente en  usar un tono tierra, que suele ser sepia o sanguina, un tono blanco, que suele ser el de una tiza o similar y el negro del carbón vegetal, llamado tradicionalmente “carboncillo”.

  Con esta técnica y empleando un papel preferentemente de color crudo, crema o gris, se obtiene una gran riqueza de valores, contrastes, muy adecuados  para obtener tonos parecidos a la carne (carnosidades) generando lo que se podría considerar una gama monocromática de tonos tierras.

  Recordemos que una gama monocromática de tonos era una gama armónica en la cual los tonos empleados son parecidos, pues  se crea combinando tonos que se conseguían con un solo color y sus variantes de valor aclarándolo con blanco u oscureciendo con negro. 


  A continuación ofrecemos dibujos resueltos por diferentes artistas.

  A la derecha, uno de Miguel Ángel, concretamente  su "Estudio para Madonna con niño." Dibujo a sanguina y piedra negra, con luces a clarión blanco y acentos oscuros a pluma y tinta marrón, sobre papel teñido.   

 Abajo, a la izquierda, un dibujo a tres tizas de la pintora francesa del siglo XVIII, Marie Gabrielle Capet.

 Abajo, a la derecha,  un dibujo del pintor de los Países Bajos, Peter Paul Rubens, de su hijo Nicolás.

 





















 A continuación ofrecemos algunos enlaces magníficos que tratan sobre el tema

 Este primero habla sobre al técnica en general a lo largo de la historia:

https://youtu.be/Pivs7UDvq2M


Este segundo nos explica la técnica en concreto.

https://youtu.be/hyL--AK80SA

Este tercero nos muestra ejemplos del uso de esta técnica en artistas de fama universal:

https://youtu.be/zm1NseSRCMQ



ACTIVIDAD Nº1. PREPARATORIA.

Título: Gama de tonos a tres tizas.

  Como actividad preparatoria podrías hacer una fila de siete casillas, para hacer una degradación de tonos tierras usando un lápiz de color tierra, rellenando con él la casilla central tal como se muestra a continuación y presionando menos con el lápiz para conseguir tonos más claros y mezclando con un lápiz negro conseguir tonos cada  vez más oscuros.

  ACTIVIDAD Nº 2.

Título: Dibujo a tres tizas.

  Vas a resolver en un A/4 y con un tamaño de 160 x 160 mm el dibujo del motivo ornamental que se ofrece a continuación. Usarás para ello la técnica de la cuadrícula para resolver una imagen igual a otra. Vas a emplear la técnica de las tres tizas, pero usarás solamente un lápiz de color tierra y un lapiz de color negro, el tono blanco será el del papel, “apretando” menos con el lápiz.

   El motivo es una escultura ornamental en piedra arenisca. La técnica del claroscuro a tres tintas es, pues, muy recomendable para sugerir el efecto de la piedra.

   Como ves, se trata de un dragón. Dicho motivo se encuentra  en el pie de una de las arquivoltas de la Puerta del Príncipe de la Catedral de Sevilla, tal como se muestra a continuación.

Imagen CCO Autor https://pixabay.com/es/users/nuno_lopes-27925/

Recomendaciones:

Conviene que el papel del A/4 sea ligeramente poroso y con un tono algo crudo y no el tradicional satinado y blanco para entintar en dibujo técnico.

Se puede hacer en papel tipo Canson de color gris. En este caso ya se puede usar el lápiz blanco para obtener tonos más claros.

Si se resuelve con lápiz de sanguina o de sepia, lápiz conté negro y  lápiz blanco de tiza, los resultados serían mucho mejores, ya que son los instrumentos tradicionales de esta técnica.  Se comercializan juegos con los tres tipos de lápices.

Existen kits de lápices y barras a las tres tizas de marcas conocidas,así como papeles de tonos crudos y grises. Se pueden usar para esta actividad. El resultado es sorprendente, pero requiere de más desembolso de dinero.

Conviene visitar cómo se resuelve la actividad con otro motivo en este excelente blog de dibujo: https://compasycolor.blogspot.com/search?q=tres+tizas


 ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA.

  En un formato A/4 vas a resolver una composición abstracta solo con una combinación de tonos monocromática con el tierra, el negro y el blanco del papel.


  El tema se pude descargar en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1WHK115iy8HIfrYu8gXwBez9vhwGebMcC

A continuación adjuntamos varios trabajos de alumnos basado en un relieve de la diosa Hathor https://es.wiktionary.org/wiki/relieve

Cortes y secciones en perspectiva axonométrica y perspectiva caballera. 2º bachillerato.

     A continuación ofrecemos varios ejercicios de obtención de secciones producidas por planos dados por tres puntos a sólidos en perspectiva axonométrica.

     La primera hoja, que se muestra a continuación, consta de tres problemas, de menor a mayor dificultad, comenzando por una simple sección de un ortoedro.

La solución del problema se puede descargar en PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1xGi7LcgQYjAQqiVY41uuBGKOTbpcg8vL



 La segunda es la resolución de un ejercicio en donde el sólido aparece representado en perspectiva caballera.