LOS POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.
Antes de empezar este tema recordemos qué era un polígono regular. Un polígono regular era el polígono que tenía todos sus lados y sus ángulos iguales.
Ya sabemos que si dividimos una circunferencia en partes iguales y unimos de forma consecutiva las divisiones hallaríamos un polígono regular convexo inscrito en la circunferencia, como vemos en la imagen de arriba. La circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita, de tal forma que el polígono queda inscrito en la circunferencia.
Pero si unimos las divisiones de forma constante y no consecutiva, saltando divisiones, podremos obtener un polígono regular cóncavo que se denomina "polígono estrellado".
En la imagen de la derecha tenemos un pentágono estrellado. Fijémonos que hemos empezado a dibujar en la división número 1 y sin levantar el lápiz nos hemos ido al 3, luego al 5, luego al 2, luego al cuatro, para volver nuevamente al 1. Tenemos, pues un polígono regular de 5 lados que se cortan.
Según el número de divisiones tenga un circunferencia, podremos obtener ninguno, uno o varios polígonos estrellados. Si tomamos por ejemplo una división de la circunferencia en 11 partes iguales podremos obtener hasta cuatro polígonos estrellados diferentes, dependiendo si nos saltamos una, dos tres o cuatro divisiones.
A continuación se muestran los cuatro posibles endecágonos estrellados.
En algunos casos, cuando unimos divisiones de forma alterna para conseguir un polígono estrellado podemos encontrarnos que la forma se cierra antes de haber cubierto todas las divisiones, formando un polígono convexo, y que tendríamos que "levantar" el lápiz para continuar. En estos casos NO tenemos un polígono estrellado, sino varios polígonos convexos que se cortan. En este caso obtenemos lo que se llama "falso polígono estrellado", "polígono en forma de estrella", "pseudopolígono estrellado", o también llamado "falsa estrella".
En la imagen superior izquierda tenemos un falso hexágono estrellado. Si nos fijamos bien veremos que son realmente dos triángulos equiláteros que se cortan.
En la imagen de la derecha tenemos un pentágono estrellado. Fijémonos que hemos empezado a dibujar en la división número 1 y sin levantar el lápiz nos hemos ido al 3, luego al 5, luego al 2, luego al cuatro, para volver nuevamente al 1. Tenemos, pues un polígono regular de 5 lados que se cortan.
Según el número de divisiones tenga un circunferencia, podremos obtener ninguno, uno o varios polígonos estrellados. Si tomamos por ejemplo una división de la circunferencia en 11 partes iguales podremos obtener hasta cuatro polígonos estrellados diferentes, dependiendo si nos saltamos una, dos tres o cuatro divisiones.
A continuación se muestran los cuatro posibles endecágonos estrellados.
En algunos casos, cuando unimos divisiones de forma alterna para conseguir un polígono estrellado podemos encontrarnos que la forma se cierra antes de haber cubierto todas las divisiones, formando un polígono convexo, y que tendríamos que "levantar" el lápiz para continuar. En estos casos NO tenemos un polígono estrellado, sino varios polígonos convexos que se cortan. En este caso obtenemos lo que se llama "falso polígono estrellado", "polígono en forma de estrella", "pseudopolígono estrellado", o también llamado "falsa estrella".En la imagen superior izquierda tenemos un falso hexágono estrellado. Si nos fijamos bien veremos que son realmente dos triángulos equiláteros que se cortan.
Las dos imágenes inferiores nos muestran, a la izquierda un octógono estrellado, saltándonos dos divisiones para dibujarlos lados. A la derecha un octógono en forma de estrella saltando solo una división, de tal forma que salen realmente dos cuadrados.
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| Fotografía: Felivet.Dominio público. |
Los polígonos estrellados y los de falsa estrella se han usado mucho en las artes decorativas aplicadas a la arquitectura. En la imagen derecha tenemos un ejemplo de falso hexágono estrellado en el rosetón de la catedral de Valencia, la cual es de estilo gótico. En las catedrales de la época del gótico se emplean mucho los polígonos estrellados para decorar los rosetones.
En la imagen inferior ofrecemos un ejemplo de vano (ventana) estrecho de una iglesia románica asturiana, en donde se ha usado la mitad de un dodecágono en forma de estrella con tres cuadrados para decorar la arquivolta.
En las dos imágenes inferiores ponemos otro ejemplo, en este caso de pentágono estrellado, en uno de los rosetones de la catedral de Amiens (Francia).
El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:
Ahora nos toca dibujar a nosotros.
ACTIVIDAD Nº 1.
El título de la lámina es: Polígonos estrellados.
El título de la lámina es: Polígonos estrellados.
Vamos a dividir una lámina en 4 partes iguales mediante una recta vertical y otra horizontal que pasen por los puntos medios de los lados del margen, y dibujaremos los siguiente:
1. En el casillero superior izquierdo dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 5 partes iguales e inscribiremos en ella un pentágono regular estrellado con lápiz de color violeta
2. En el casillero superior derecho dividiremos una circunferencia de
radio 35 mm en 7 partes iguales e inscribiremos en ella un heptágono regular estrellado con lápiz de color azul y otro de color naranja.
3. En el casillero inferior izquierdo dividiremos una circunferencia de
radio 35 mm en 8 partes iguales e inscribiremos en ella un octógono regular estrellado con lápiz de color rojo.
4. En el casillero inferior derecho dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 6 partes iguales e inscribiremos en ella un falso hexágono regular estrellado con lápiz de color verde, dibujando dos triángulos equiláteros. A este último polígono le haremos un grosor de unos 5 mm y trabajando la técnica de la superposición haremos un nudo con los dos triángulos equiláteros, obteniendo como resultado la conocida "estrella de David".
En la imagen inferior se muestra una imagen de la actividad.
IMPORTANTE:
En los trazados tiene que aparecer a lápiz de grafito normal (del portaminas 0,5) y con línea fina el procedimiento de cómo se dividen las circunferencias en partes iguales.
Los títulos de los casilleros se escribirán con lápiz en la parte superior de cada recuadro: 1. Pentágono estrellado, 2. Heptágonos estrellados, 3. Octógono estrellado, 4. Hexágono en forma de estrella.
Solo se escribirá con bolígrafo el nombre, los dos apellidos, el curso, el grupo, el título de la lámina (de la actividad) y el número de lámina.
Para aprender y repasar cómo se divide una circunferencia en 5, 3 y 6, 7, 4 y 8 partes iguales, podéis visitar la siguiente entrada de este mismo blog:
También os podéis descargar la explicación gráfica en formato PDF en el siguiente enlace:
https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD
Los criterios de calificación de la actividad nº 1 serán los siguientes:
1. Irán destinados 2 puntos a cada ejercicio, desglosados de la siguiente manera:
- Si el procedimiento de obtención de la división en partes iguales cada circunferencia es correcto y las medidas de esta son las que se han pedido se puntuará 1 punto. Son necesarias tener bien las dos condiciones.
- Si el trazado es el adecuado (en este caso que líneas sean finas para el procedimiento y gruesas para la solución con lápiz de color) se puntuará 0,5 puntos.
- Si el color del polígono es el que se pide, se puntuará 0,5 puntos.
2. A la limpieza y la presentación de la lámina irá destinado 1 punto. Basta que estén cambiado de sitio algún ejercicio, que esté mínimamente sucia o con algún dobladillo o arruga para puntuar cero en este apartado.
3. A la correcta cumplimentación de los datos del casillero (nombre, apellidos, curso, grupo, título y número de lámina) irá destinado 1 punto. Basta que falte algún dato para puntuar cero en este apartado.
ACTIVIDAD Nº 2.
En una lámina de formato A/4 haremos un diseño creativo usando polígonos estrellados y aplicando color con el lápiz.
El título del trabajo será: Diseño creativo con polígonos estrellados. A continuación mostramos algunos ejemplos realizados por los alumnos:
4. En el casillero inferior derecho dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 6 partes iguales e inscribiremos en ella un falso hexágono regular estrellado con lápiz de color verde, dibujando dos triángulos equiláteros. A este último polígono le haremos un grosor de unos 5 mm y trabajando la técnica de la superposición haremos un nudo con los dos triángulos equiláteros, obteniendo como resultado la conocida "estrella de David".
En la imagen inferior se muestra una imagen de la actividad.
IMPORTANTE:
En los trazados tiene que aparecer a lápiz de grafito normal (del portaminas 0,5) y con línea fina el procedimiento de cómo se dividen las circunferencias en partes iguales.
Los títulos de los casilleros se escribirán con lápiz en la parte superior de cada recuadro: 1. Pentágono estrellado, 2. Heptágonos estrellados, 3. Octógono estrellado, 4. Hexágono en forma de estrella.
Solo se escribirá con bolígrafo el nombre, los dos apellidos, el curso, el grupo, el título de la lámina (de la actividad) y el número de lámina.
Para aprender y repasar cómo se divide una circunferencia en 5, 3 y 6, 7, 4 y 8 partes iguales, podéis visitar la siguiente entrada de este mismo blog:
También os podéis descargar la explicación gráfica en formato PDF en el siguiente enlace:
https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD
Los criterios de calificación de la actividad nº 1 serán los siguientes:
1. Irán destinados 2 puntos a cada ejercicio, desglosados de la siguiente manera:
- Si el procedimiento de obtención de la división en partes iguales cada circunferencia es correcto y las medidas de esta son las que se han pedido se puntuará 1 punto. Son necesarias tener bien las dos condiciones.
- Si el trazado es el adecuado (en este caso que líneas sean finas para el procedimiento y gruesas para la solución con lápiz de color) se puntuará 0,5 puntos.
- Si el color del polígono es el que se pide, se puntuará 0,5 puntos.
2. A la limpieza y la presentación de la lámina irá destinado 1 punto. Basta que estén cambiado de sitio algún ejercicio, que esté mínimamente sucia o con algún dobladillo o arruga para puntuar cero en este apartado.
3. A la correcta cumplimentación de los datos del casillero (nombre, apellidos, curso, grupo, título y número de lámina) irá destinado 1 punto. Basta que falte algún dato para puntuar cero en este apartado.
ACTIVIDAD Nº 2.
En una lámina de formato A/4 haremos un diseño creativo usando polígonos estrellados y aplicando color con el lápiz.
El título del trabajo será: Diseño creativo con polígonos estrellados. A continuación mostramos algunos ejemplos realizados por los alumnos:
Los criterios de calificación de la actividad nº2 serán los siguientes:
1. A la limpieza y la presentación de la lámina irá destinado 1 punto.
2. A la correcta cumplimentación de los datos del casillero (nombre, apellidos, curso, grupo, título) irá destinado 1 punto. Si falta uno de los datos se putuará cero.
3. A la calidad del trazado y precisión 2 puntos.
4. El trabajo a color, 3 puntos.
5. A la originalidad y creatividad, 3 puntos.
ACTIVIDAD Nº 3, complementaria.
El título del trabajo será: Diseño de una rosa de los vientos.
Una rosa de los vientos es un instrumento marino usado en las cartas de navegación que se utiliza para representar los 32 rumbos unidos por sus extremos. También suelen aparecer en la brújulas.
¿Seríamos capaces de diseñar en un A/4 y con color una rosa de los vientos?
¿La rosa de los vientos tiene algo que ver con los polígonos regulares en forma de estrella? Hay que fijarse bien.
A continuación mostramos algunos ejemplos. El primero está basado en un dodecágono en forma de estrella compuesto de tres cuadrados. El segundo en un octógono estrellado como forma principal.
Autor: Alves Gaspar https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Alvesgaspar?uselang=es licencia
CC BY 2.5 Réplica de una rosa de los vientos de un mapa de Jorge de Aguiar, 1492.
Réplica de la rosa de los vientos de la carta náutica de Pedro Reinel de 1504. Es la primera rosa de los vientos conocida que representa claramente la flor de lis. Esta práctica fue adoptada en otras cartas náuticas y ha sobrevivido hasta la actualidad.
Licencia CC BY 2.5 .
Autor: Alves Gaspar https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Alvesgaspar?uselang=es
CC BY 2.5 Réplica de una rosa de los vientos de un mapa de Jorge de Aguiar, 1492.
Réplica de la rosa de los vientos de la carta náutica de Pedro Reinel de 1504. Es la primera rosa de los vientos conocida que representa claramente la flor de lis. Esta práctica fue adoptada en otras cartas náuticas y ha sobrevivido hasta la actualidad.
Licencia CC BY 2.5 .
Autor: Alves Gaspar https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Alvesgaspar?uselang=es
ACTIVIDAD Nº 5, de ampliación.
El título será: Polígonos estrellados y en forma de estrella.
Se te pide que en un formato A/4 lo siguiente.
1. Dividir el formato en horizontal mediante un recta en dos partes iguales.
2. En la parte superior dibujarás dos soluciones de polígonos estrellados que puedes obtener dividiendo la circunferencia que los circunscribe en 9 partes iguales. La circunferencia circunscrita tendrá un radio de 45 mm. Dibuja cada polígono con dos colores diferentes para que se distingan bien en el mismo dibujo. Indica en la parte superior del dibujo cómo se llamaría.
3. En la parte inferior dibujarás el único polígono estrellado que puedes obtener dividiendo la circunferencia que los circunscribe en 12 partes iguales. La circunferencia circunscrita tendrá un radio de 45 mm. Dibuja el polígono con un color diferente a los dos anteriores. Indica en la parte superior del dibujo cómo se llamaría.
Importante: se deben dibujar polígonos estrellados y no polígonos en forma de estrella.
Para saber dividir la circunferencia en 9 y 12 partes iguales, deberás visitar el tema de la división de una circunferencia en partes iguales y buscar en dicha entrada cómo se resuelven: https://dibutodo.blogspot.com/2017/12/division-de-una-circunferencia-en.html
ACTIVIDAD nº 6 de preguntas sobre el tema.
Título de la actividad: Preguntas y respuestas del tema TB 30.
Responde a las siguientes preguntas del tema:
1. Definición de polígono regular.
2. ¿Cuándo decimos que una circunferencia está circunscrita a un polígono regular?
3. ¿Cómo obtenemos un polígono estrellado?
4. ¿Cuándo se obtiene un "polígono en forma de estrella"?
5. La división de una circunferencia en once partes iguales ¿puede dar como resultado un solo polígono estrellado o varios?
5. La división de una circunferencia en seis partes iguales ¿puede dar como resultado un polígono estrellado, o nos daría un polígono en forma de estrella? Una de las dos respuestas es la correcta.
6. Escribe un ejemplo del uso de polígonos estrellados en la arquitectura.
ACTIVIDAD Nº 7. DE REFUERZO.
Vas a hacer en un folio A/4 un pentágono estrellado, dividiendo una circunferencia de 80 mm de radio en cinco partes iguales. Si te fijas bien, es prácticamente el ejercicico 1 de la actividad nº1 de este tema. Una vez resuelto el polígono, le vas a dar un grosor de 10 mm a los lados y a la circunferencia circunscrita también. El dibujo definitivo debe tener el mismo aspecto que el ejercicio 4 de la actividad 1 (resolver la estrella de David).
