Ejercicios de homología y afinidad. 1º de Bachillerato.

1. A continuación ofrecemos los enunciados gráficos de cuatro ejercicios. Dos de homología ( el 1 y el 2) y otros dos de homología afín, también llamados de afinidad ( ejercicios 3 y 4).

 

 

2. Un ejercicio muy interesante de homología y afinidad, en donde se pide resolver la figura homóloga de un cuadrilátero que viene dispuesto de una forma muy singular.

 El problema en blanco y la solución  se pueden descargar en formato pdf en el siguiente enlace. 

https://drive.google.com/file/d/12yvtJEbiO0vaCQ34oK_kWNGLcIBSTosw/view?usp=sharing

3. Un problema redactado de homología:

  Dado un triángulo de lados 95, 65 y 40 mm, hallar su triángulo homólogo sabiendo:
- Que el centro de homología O está en el ortocentro del triángulo.
- Que el eje de homología contiene los pies de las alturas correspondientes a los lados de 65 y 40 mm.
- Que el homólogo del vértice que tiene el ángulo obtuso dista 10mm del eje de homología.
- Habría dos soluciones. Se pide una sola; la que dé como resultado el dibujo más claro.

4. Una hoja con diferentes problemas de homología y afinidad. La hoja en blanco se puede descargar en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1xPSBY3TUtsa3KQ0_PubdnHCbbjgZVL2-/view?usp=sharing

 

 5. Un problema de homología y de afinidad en donde se hacen una serie de preguntas sobre qué queda o no queda invariante en las transfromaciones. El ejercicio en blanco se puede descargar en el siguinete enlace: https://drive.google.com/file/d/1uy_nyk36HIU11CAA93X2w_EJAALXCmb4/view?usp=sharing

 

 

Perspectiva cónica central y oblicua de una escalera.

A continuación  ofrecemos los datos y las soluciones de la perspectiva cónica de una escalera. En primer lugar en cónica oblicua y en segundo lugar en cónica central.

Ejercicio de perspectiva cónica central por el método de los puntos medidores D y D'

A continuación ofrecemos un ejercicio de perspectiva cónica central para 1º y 2º de bachillerato, basado en levantar desde un damero de nueve cuadrados una perspectiva. La figura habrá que dibujarla a escala 4/1, sacando los datos de las proyecciones diédricas.

Presentamos primero la hoja con los datos.

 

En la imagen de abajo ofrecemos la solución.

Preguntas de teoría sobre el tema de homografías (transformaciones) y esquema sobre homografías particulares.

PREGUNTAS DE TEORÍA SOBRE EL TEMA DE HOMOGRAFÍAS (TRANSFORMACIONES)

1. ¿Qué resultado da siempre una determinada homografía?
2. Definición de homografía.
3. ¿Qué es una transformación isométrica?
4. ¿Qué es lo que varía (lo que queda transformado) en una traslación?
5. ¿Que es lo invariante (lo que se mantiene) en una traslación?
6. ¿Qué tipo de simetría nos da el resultado de haber girado una forma 180º?
7. ¿Qué transformación da como resultado una igualdad inversa?
8. Menciona una homografía que dé como resultado una transformación solamente isogonal, que no tenga por qué ser isométrica.
9. Menciona un tipo de homografía cuya transformación sea una semejanza.
10. ¿Qué es una transformación isogonal?
11. ¿Qué homografías nos puede dar una homotecia de razón 1?
12. Si en una homotecia inversa la razón es igual a -1 ¿qué tipo de homografía resulta también?
13. Si en una homotecia directa el centro de homotecia está en un lugar impropio (en el infinito) ¿qué tipo de homografía obtenemos también?
14. ¿Qué son dos formas planas perspectivas?
15. Definición de homología.
16. En una homología ¿cuál es la recta que se considera doble de puntos dobles?
17. En una simetría axial ¿cuál es la recta doble de puntos dobles?
18. En una simetría central ¿cuál es el único punto doble?
19. ¿Cuál es el resultado de aplicar dos traslaciones a una misma figura?
20. ¿Cuál es el resultado de aplicar dos homotecias a una misma figura?
21. Una homología de centro en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da?
22. Una homología con eje en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
23. Una afinidad con eje en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
24. Una homología con eje y centro en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
25. ¿A qué llamamos razón de homotecia?
26. Un giro con radio infinitamente grande ¿qué tipo de homografía nos da también?
27. Escribe las homografías que dan como resultado una transformación isométrica directa.
28. ¿Qué diferencia existe entre una homología y una homología afín (una afinidad)?
29. ¿Qué diferencia existe entre una homotecia directa y una homotecia inversa?
     
    Este esquema que presentamos ahora ayuda mucho a reflexionar sobre las preguntas.
    
    
    

    
    
    
     
    Las respuestas a estas preguntas se encuentran ocultas en este blog. Las puedes encontrar si en el buscador del blog pones las palabras adecuadas. Dichas palabras son un error de traducción cada vez intento irme al futuro.
    

    
    

Un ejercicio de fundamentos de perspectiva cónica.

A continuación ofrecemos paso por paso un ejercicio de gran interés sobre las relaciones que se pueden establecer entre el método de obtención de cualquier punto en perspectiva con los llamados puntos medidores D y D´(puntos donde fugan rectas que forman 45º grados con el plano del cuadro) con una perspectiva cónica oblicua a dos puntos de fuga F y F´, así como las relaciones de homología que se definen entre la forma abatida que aparece dada debajo de la línea de tierra (en verdadera forma) y su proyección cónica en el plano geometral.

Paso 1: Dado un rectángulo Ao, Bo, Co y Do, abatido en verdadera forma (se ha colocado intencionadamente en disposición oblicua), en la parte inferior a la línea de tierra; hallamos su representación cónica por el método de los puntos medidores D y D´(conocido tradicionalmente como el método de Palomino).

 

Paso 2. Comprobamos cómo en perspectiva, los segmentos  ad y bc de la figura ya en perspectiva fugan a un punto foco F de la línea de horizonte y cómo los segmentos ab y cd  fugan a un punto F´, también en la línea de horizonte (LH).

Paso 3. Prolongamos los lados del rectángulo en perspectiva  hasta que corten a la línea de tierra (LT).

4. Unimos el punto V con los puntos de fuga F y F´.

5. Comprobamos cómo las prolongaciones de los segmentos provocados por los vértices Ao Bo Co y Do coinciden en LT con las prolongaciones de estos lados en la perspectiva y cómo forman estas prolongaciones el mismo ángulo que las rectas que unen F y F´con el punto V, de tal forma que, por ejemplo, el segmento BoCo es paralelo a VF y el segmento AoBo es paralelo a VF´.

Comprobamos como uniendo, por poner un ejemplo, el punto Ao con su correspondiente en la perspectiva (el punto a), lo que obtenemos es un rayo de homología que pasa por el punto de vista V. Es decir, V es el centro de homología entre la forma en verdadera forma (la forma abatida) y su forma en la perspectiva en el plano geometral. El eje de homología es la propia línea de tierra. La línea de horizonte es una recta límite de la homología, es decir: es el lugar geométrico en la perspectiva  de los puntos que tendrán sus homólogos en verdadera forma en el infinito.

Más problemas de cuadriláteros (complementarios). 1º de bachillerato

MÁS PROBLEMAS DE CUADRILÁTEROS.

 

1. Construir un trapecio conocidos la base mayor AB de 93 mm, la altura = 48 mm, la diagonal AC = 84 mm y la diagonal BD= 75 mm. 
   
   

   1. Se traza una semirrecta de extremo A y sobre dicho extremo se coloca la medida de la base AB.

   2. Sobre la semirrecta se levanta una recta perpendicular donde se coloca el valor de la altura que nos dan, con el objeto de trazar una recta paralela a la base AB con distancia la altura dada.

   3. Con centro en el vértice A y radio la diagonal AC se traza un arco que nos determina el vértice C del trapecio en su intersección con la paralela ya trazada.
   

   4. Con centro en el vértice B y radio la diagonal AD se traza un arco que nos determina el vértice D del trapecio en su intersección con la paralela ya trazada.

    

    
2.  Construye un trapecio conocidas las dos bases, AB=85 mm y CD=50 mm, la altura = 50 mm y la diagonal AC= 80 mm.
   
    
    
   
    1.  Se traza una semirrecta de extremo A y sobre dicho extremo se coloca la medida de la base AB.
   2. Sobre la semirrecta se levanta una recta perpendicular donde se coloca el valor de la altura que nos dan, con el objeto de trazar una recta paralela a la base AB con distancia la altura dada. 

   3. Con centro en el vértice A y radio la diagonal AC se traza un arco que nos determina el vértice C del trapecio al cortar a la paralela ya trazada.

   4. Se traslada sobre la paralela trazada la medida de la base CD 

    

    

   UN PROBLEMA DE AMPLIACIÓN CUYO RESULTADO NO COLOCAMOS. HAY QUE INVESTIGAR.

    

   Construye un rectángulo conocidos la suma de los lados AB y AD = 150 mm y la diferencia entre los lados AB y AD= 40 mm. Una vez dibujado, nombra los vértices y hállale la circunferencia circunscrita.

Preguntas y problemas de cuadriláteros. 1º de bachillerato.

 A continuación colocamos preguntas de teoría y problemas de cara a una prueba escrita, y que vamos a impartir. Pero antes de presentar las preguntas y problemas viene bien leer los tres párrafos que vienen a continuación:

  Los problemas se pueden descargar ya con las soluciones en este enlace:  https://drive.google.com/file/d/1aa_oA5rRQa2sWCU1J492TlG9tFZNuIHu/view?usp=sharing

 Se pueden descargar los enunciados de los problemas con datos  en este enlace https://drive.google.com/file/d/1rPC5x9fw70MzwsSYszJJgkbDX68IOWwR/view?usp=sharing

  Se pueden ver más problemas resueltos de cuadriláteros en el siguiente enlace de este mismo blog: https://dibutodo.blogspot.com/2021/10/mas-problemas-de-cuadrilateros-1-de.html

PREGUNTAS DE CUADRILÁTEROS.

1. Definición de cuadrilátero.

2. Clasifica de forma general los cuadriláteros. 

3. Clasificación de paralelogramos. Señala dos características que sean específicas de ellos.

4. Clasificación de trapecios. Señala dos características que sean específicas de ellos.

5.¿Qué es un trapezoide? 

6. Señala una característica específica de las diagonales de los paralelogramos.

 

7. ¿A qué llamamos bases del un trapecio? 

 

8. ¿Todos los rectángulos posibles se pueden inscribir en una circunferencia? Contesta solo sí o no.

 

9.  ¿Una circunferencia se puede inscribir en un rectángulo? Contesta sí o no.

PROBLEMAS DE CUADRILÁTEROS. 

 
En todos los problemas se pide nombrar todos los vértices.

Construcción de  un cuadrado conocido el lado.

1. Sobre una semirrecta se traza el segmento AB, lado del cuadrado que nos dan.
2. Se levanta una recta perpendicular por el extremo A del segmento AB.
3. Con centro en el extremo A y radio AB se traza un arco para llevar la medida a la prependicular antes trazada, de tal forma que obtenemos el vértice D del cuadrado
4. Basta con trazar un arco de radio AB y de centro en el extremo D y otro con centro en el extremo B para determinar en el corte de los dos arcos el vértice C. 

5. Teniendo los cuatro vértices ya podemos obtener el cuadrado.

Construcción de  un cuadrado conocida la diagonal.

 

 

El problema también podría enunciarse como "construción de un cuadrado conocido el radio de su circunferencia circunscrita o dividiendo euna circunferencia en cuatro partes iguales"

1. Se traza un segmento AC con el valor de la diagonal.
2. Se traza otro diámetro DB perpendicular a la diagonal AB por su punto medio o bien se traza simplemente la mediatriz del segmento AC.
3. Con centro en el punto de corte de las dos diagonales se traza una circunferencia de diámetro AC. Donde corte la circunferencia a la mediatriz obtendremos los puntos DB, vértices del cuadrado.
4. Basta con unir los vértces para resolver el cuadrado solución.

 

Construcción de un rectángulo, conocidos los lados AB y AD.

 

 1. Se traza una semirrecta siendo el extremo A unos de los vértices del rectángulo.
2. Se traza otra semirrecta perpendicular a la anterior por dicho extremo A.
3. Se pasan las medidas de los lados a dichas semirrectas, obteniéndose los vértices B y D.
4. El vértice C se puede obtener de muchas formas; por ejemplo, trazando un perpendicular por el extremo B y colocando la medida igual a DA.
5. Al unir los vértices, obtendremos el rectángulo solución.

 

Construcción de  un rectángulo conocidos un lado AB y la diagonal AC

1. Se traza el segmento AB conocido.
2. Se averigua el rectángulo con la medida AB, que será uno de los catetos y el valor de la diagonal que nos dan, la cual será la hipotenusa, siendo el vértice B de 90º. Obtenemos así el punto C, punto de intersección del arco trazado con centro en A y la perpendicular trazada desde l vértice B.
3. Basta con trazar una paralela desde A al segmento BC y otra paralela por C al segmento AB para obtener el vértice D del rectángulo solución.


Construcción un rombo de lado AB y diagonal AC.

 

 

1. Trazamos el segmento AB, lado del rombo.

2. Construimos el triángulo ABC, con el valor del lado y de la diagonal AC por el método de construcción de un triángulo conocidos los tres lados.

3. Hallamos el otro vértice, bien trazando paparelas a los dos lados ya hallados, bien trazando una paralela por el vértice C al segmento AB, bien colocando en dicha paralela la magnitud del lado.

 

 Construcción de un rombo conocidas la altura  y una diagonal

 

 1. Se traza una semirrecta de extremo el punto A, que será uno de los vértices del rombo.

2. Se levanta la altura dada partiendo de la semirrecta y se traza una paralela a dicha semirrecta a la distancia de esa altura.

3. Con centro en el extremo A y con radio igual a la diagonal que nos han dado, trazamos un arco de circunferencia que cuando corta a la paralela nos determina el vértice C del rombo.

4. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. Basta con trazar la mediatriz de la diagonal AC para determinar en la semirrecta y en la paralela trazada los vértices D y B. 

Construcción de un romboide conocidos los lados AB, AD y el ángulo del vértice A.

1. Se traza una semirrecta de extremo el punto A y se coloca en ella el valor del lado del rombo AB.

2. Se traza en el extremo A el ángulo que nos dan.

3. Se coloca sobre el lado del ángulo la medida del lado AD.

4. Por el vertice B se traza una paralela al lado AD y por el vértice D una paralela al lado AB. Donde se cortan dichas paralelas estrá determinado el vértice C del romboide.

 

 Construcción de un romboide conocidos el lado AB, la altura correspondiente a dicho lado y el ángulo del vértice A.

 

1. Se traza una semirrecta de extremo el punto A y se coloca en ella el valor del lado AB.

2. Sobre la semirrecta se levanta la altura que nos dan y se traza una paralela a la semirrecta (o al lado AB) con la distancia de esa altura.

3. Se construye el ángulo que nos dan en el extremo A del lado AB.

4. En la intersección del lado del ángulo del vértice A con la paralalea trazada se encontrará el vértice D del romboide.

5. Basta llevar sobre la paralela la medida del lado AB , sindo uno de los extremos el vértice D para hallar el romboide.

 

Construye un trapecio rectángulo dados la base AB, la altura y el lado no básico BC.

 

1. Se traza una semirrecta de extremo el punto A y se coloca en ella el valor de la base dada AB.

2. Se levanta la altura dada partiendo de la semirrecta y se traza una paralela a dicha semirrecta a la distancia de esa altura.

3. Con centro en el extremo B y con radio igual al lado BC que nos han dado, trazamos un arco de circunferencia que cuando corta a la paralela nos determina el vértice C del trapecio.

4. El trapecio que nos piden es rectángulo. Basta con trazar una recta perpendicular por el vértice A para hallar el vértice D del trapecio.

 

 Construcción de un trapecio isósceles conocidas las dos bases AB y CD , y la altura h.

 

 1. Se traza una semirrecta de extremo el punto A y se coloca en ella el valor de la base AB del trapecio.

2. Se levanta la altura dada partiendo de la semirrecta y se traza una paralela a dicha semirrecta a la distancia de esa altura.

3. Se traza la mediatriz de la base AB del trapecio. La cual nos servirá para repartir la medida de la base CD en la recta paralela, por igual y a un lado y al otro lado de la mediatriz, ya que el trapecio es simétrico, y determinar los vértices C y D.

 

 Construcción de un trapecio escaleno conocidas las dos bases AB  y CD , la diagonal AC. Dicha diagonal forma 45º con la base AB.

 

 

1. Se traza una de las bases AB. y se traza el ángulo (de 45º) que forma la diagonal dada sobre el vértice A.

2. Se traslada sobre esa diagonal la medida AC, determinándose así el vértice C.

3. Por el vértice C se traza una paralela a la base AB. Recordemos que las bases de un trapecio son paralelas entre sí.

4. Sobre dicha paralela se traslada el valor de la base CD que nos dan, obteniéndose así el vértice D.

 

 Construcción de un trapezoide conocidos los cuatro lados; AB , BC, CD, DA y la diagonal AC.

Un trapezoide se hace generalmente por triangulación, es decir,  colocando triángulos adyancentes con los datos que nos dan. 

1. Se traza el lado AB, y se traza el triángulo que resulta de las medidas del lado AB y las diagonales AC y BC. Así obtendremos el vértice C del trapezoide.

2.Sobre la diagonal AC, que es uno de los lados del triángulo anterior ya resuelto, se traza otro triángulo de lados el valor de la diagonal AC y los lados DA y CD, obteniéndose el vértice D.

 

Preguntas y problemas de construcción de triángulos. 1º de Bachillerato.

  A continuación mostramos las preguntas que pueden caer de teoría en un examen que trate del tema de triángulos, así como problemas de construcción de estos.

PREGUNTAS DE TRIÁNGULOS.

1. Definición de triángulo.
2. Clasificación de triángulos según sus lados.
3. Clasificación de triángulos según sus ángulos.
4. Enumera las rectas notables de un triángulo y los puntos notables que se obtienen con ellas.
5. Qué es una circunferencia inscrita en un triángulo.
6. Qué es una circunferencia circunscrita en un triángulo.
7. ¿Qué es el baricentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
8. ¿Qué es el ortocentro de un triángulo?
9. ¿Qué es el incentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
10. ¿Qué es el circuncentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
11. ¿Cuanto sumán los ángulos de un triángulo?

12. Completa las preguntas que aparecen en la ilustración

13. Completa el recuadro que aparece.

 

Se recomienda ver este vídeo: https://youtu.be/35OSKMNuZmU

PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

A continuación ofrecemos diferentes problemas de construcción de triángulos y la solución.

Nomenclatura:

<A, <B, <C: ángulos correspondientes a los vértices A,B y C del triágulo.

a, b , c: lados a, b y c del triángulo.

ha, hb, hc: alturas respectivas correspondientes a los lados a, b y c. Recordemos que un triángulo tiene tres alturas.

ma, mb, mc: medianas respectivas correspondientes a los lados a, b y c y ángulos A, B y C.

Los elementos del triángulo se ordenan en sentido contrario a las agujas del reloj y a cada lado le corresponde su mismo nombre en el vértice opuesto, tal como se ve en la siguiente ilustración:

1. Construir un triángulo equilátero, conocido el radio de la circunferencia que lo circunscribe, igual a 35 mm.
   
   Consiste en saber dividir la circunferencia en tres partes iguales:
   Se traza la circunferencia de radio 35 mm.
   Se traza un diámetro. El punto 1 será una de las divisiones.
   Haciendo centro en el otro extremo del diámetro, se traza un arco de circunferencia del mismo radio que la dada, el cual pasará por el centro de la circunferencia y la cortará en los puntos 2 y 3. Ya tenemos los tres puntos de la división.
   Basta con unir los puntos 1,2 y 3 para obtener el triángulo pedido.
   
   

   
2. Construir un triángulo isósceles, conocidos su lado desigual a= 40 mm y el ángulo opuesto <A= 45º.
   
   Colocamos sobre una semirrecta la magnitud del lado a= 40 mm.
   Trazamos el arco capaz del ángulo de 45º para el segmento 40 mm.
   Como el triágulo isósceles es simétrico, siendo el eje de simetría la mediatriz del lado a,que es desigual, El vértica A del triágulo estará en la intersección de la mediatriz con el arco capaz.
   Basta unir el punto A con los extremos del lado a, para trazar el triángulo solución.
   
   

   
3. Construir los posibles triángulos rectángulos, conocidos la hipotenusa a= 75 mm y la altura correspondiente a la hipotenusa ha= 30 mm.
   
   Trazamos el arco capaz de la hipotenusa, para un ángulo de 90º, es decir, uns semicircunferencia, ya que el triángulo que se nos pide es rectángulo.
   Trazamos una semirrecta coincidente con el lado (hipotenusa) a y en ella levantamos una recta perpendicular en donde colocamos la magnitud de la altura que se nos da.
   Trazamos una recta paralela a la hipotenusa y a la distancia dada por la altura.
   Donde el arco capaz corte a la paralela, obtenemos el vértice buscado `para resolver el triángulo. Como se ve, hay dos soluciones posibles.
   
   

   
4. Construir un triángulo conocidos: <A= 30º, <B= 45º y c= 50 mm.
   
   Se traza el segmento c, lado del triángulo. Obtenemos así los vértices A y B.
   Se traza el ángulo A igual a 30º, siendo uno de los lados del ángulo el lado a.
   Se traza el ángulo B igual a 45º, siendo uno de los lados del ángulo el lado a.
   Donde se cortan los dos lados de ángulo obtenemos el vértic A buscado (no aparece escrito en el dibujo), obeniéndose así el triángulo solución.
   
   
   

   

   
   
5. Construir los posibles triángulos conocidos: lado a= 70 mm, lado b= 50 mm y altura correspondiente al lado a, ha= 40 mm.
   
    Se traza una semirecta y sobre ella se coloca el lado a.
    Sobre la semirrecta se levanta la altura ha.
    Se traza una paralela al lado a a esa altura correspondiente.
    Con centro en el extremo derecho del lado a (donde estaría el vértice C), se traza un arco de circunferencia de radio igual al b= 50 mm.
    Si nos fijamos bien, el arco corta a la paralela trazada en dos puntos que son vértices de los  triágulos buscados. Basta unir los vertices buscados con los extremos del lado a para resolver los triángulos.
   
   
   

   
6. Construir un triángulo conocidos: <B= 120º, c= 40 mm y a= 50 mm.
   
   Se traza una semirrecta y sobre ella se coloca la magnitud del lado a de 50 mm, siendo el vértice B el extremo de la semirrecta.
   En el vértice B se construye el ángulo B de 120º.
   Sobre el otro lado del ángulo colocamos la magnitub del lado c, de 40 mm.
   Basta unir los dos puntos extremos de los lados a y b para obtener el triángulo.
   
   
   

   
7. Construir un triángulo conocidos: b= 70 mm, <C= 45º y hb= 50 mm.
   
   Sobre una recta colocamos el lado b de 70 mm y levantamos una perpendicular sobre ella, colocando el valor de la altura hb=50 mm.
   Trazamos una paralela a la recta a la distancia de la altura ha.
   Trazamos en el extremo C del lado a el ángulo C = 45º.
   El lado del ángulo C cortará a dicha paralela, siendo el punto de corte el vértice B (opuesto al lado b). Basta unir dicho punto con los extremos del lado a para obtener el triángulo buscado.
   
   
   

   
8. Construir un triángulo conocidos: a= 65 mm, b= 50 mm y <A= 45º.
   
   Trazamos un segmento con la medida correspondiente al lado a = 65 mm.
   Hallamos el arco capaz del ángulo correspondiente al vértice A de 45º para ese segmento a.
   Con centro en el extremo derecho de a (donde estaría en vértice C) y radio igual al labo b= 50mm, trazamos un arco de circunferencia, el cual cortará al arco capaz, determinándonos el vértice A opuesto al lado a.
    Basta unir los tres vértices para obtener el triángulo solución.
   Conviene señalar que el lado b nos lo podrían dar de una magnitudlo suficientemente grande como para cortar al arco capaz en dos puntos, obteniéndose dos soluciones de dos posibles triángulos.
   
   

   

   
   

   
   
9. Construir un triángulo conocidos: c= 75 mm, <C= 60 º y mc= 50 mm.
   
   Trazamos un segmento correspondiente al lado c.
   Trazamos el arco capaz de 60º para el segmento c.
   Con centro en el punto medio del lado c y radio de 50 mm igual a la mediana correspondiente al lado y vértice C, trazamos un arco de circunferencia que cortará al arco capaz en dos puntos. Dichos puntos son las dos posibles soluciones donde estaría ubicado el vértice C.
   Basta unir los vértices (extremos del segmento a ) con los vértice C para obtener dos posibles triángulos solución.
   
   
   

   
10. Construir un triángulo equilátero conocido un tercio del valor de las medianas = 15 mm.
    
    En un triágulo equilátero todas la medianas son de igual magnitud, así como todas la alturas. Los  cuatro puntos notables (ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro) coinciden.
    Recordemos también que todo baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas y que dicho baricentro siempre queda a un tercio de cada mediana. Basta con saber el valor del tercio de la mediana para localizar el baricentro al menos una mediana.
    Visto lo anterior trazamos una recta y sobre ella colocamos un punto que será el baricentro. A partir de él colocaremos el valor de 1/3 de la mediana, en sentido opuesto 2/3 de la mediana, obteniendo el lugar de uno de los vértices.
    Ya que el baricentro coincide con el circuncentro, con centro en el baricentro G y radio 2/3 trazamos una circunferencia, que será la que circunscribe al triángulo rquilátero solución.
    La mediana coincide con la altura. Así pues, trazamos una perpendicular por el otro extremo de la mediana. Dicha perpendicular cortará a la circunferencia circunscrita en puntos que serán los tros dos vértices del triángulo solución.
    
    
    

    

    
    

11. Resolver los dos problemas siguientes:

    Hallar un triángulo conocidos el lado a y el ortocentro O. Una vez resuelto, hállale el incentro.

    Hallar un triángulo conocidos el lado b y el baricentro G. Una vez resuelto, hállale el circuncentro.

    Para ello deberás descargarte la hoja que se adjunta en formato PDF, entrando en este enlace. No estaría de más que, además de hallar el incentro y el circuncentro a los triángulos, también trazaras la circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente.

https://drive.google.com/open?id=1CVTXMaS5uqzt3nLnjzLwtCICjrE7FNo2 
  

ACTIVIDAD DE AMPLIACIÓN.

   Para terminar, hagamos ahora un problema que aglutina muchas propiedades de los triángulos: hallar el segmento y la circunferencia de Euler. Para ello haremos los siguientes pasos uno por uno.

1º.  Construir un triángulo conocidos los tres lados, a= 150 mm, b=132 mm y c= 116mm.

2º. Halla en el triángulo los cuatro puntos notables: incentro (bisectrices), circuncentro (mediatrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas).

3º. Halla el triángulo órtico: recuerda que es el que tiene como vértices los pies de las alturas. Verifica cómo las alturas del triángulo dado coinciden con las bisectrices del triángulo órtico.

4º. Halla el segmento de Euler, el cual abarca los puntos baricentro, ortocentro y circuncentro.

5º. Halla la circunferencia de Euler. Dicha circunferencia tiene como centro el punto medio del segmento de Euler y como radio 1/2 del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.

6º. Comprueba cómo la circunferencia de Euler contiene 9 puntos significativos en el triángulo dado, a saber:

- Los pies de las alturas.
- Los puntos medios de los lados.
- Los puntos medios de los segmentos que tienen por extremo el ortocentro y los vértices del triángulo.

Es sorprendente la cantidad de propiedades geométricas que tiene un triángulo, ¿no?

Exámenes de selctividad de Junio de 2015 de la Junta de Andalucía

A continuación ofrecemos un problema de diédrico de la opción B del examen de selectividad y su solución. También ofrecemos los tres problemas de la opción A con las soluciones resueltas a bolígrafo.