jueves, 15 de febrero de 2018

Un problema curioso de intersección de planos.

A continuación ofrecemos el resultado de un ejercicio interesante para comprobar cómo las aristas de un prisma no son más que la intersecciones de las caras del prisma entre sí, las cuales no son más que planos.

Debajo de la imagen colocamos el enlace para que se pueda descargar el ejercicio en blanco.


https://drive.google.com/open?id=1NSWdnR50X9W5FPQ0FBiv48S9sdqw3e8k

domingo, 4 de febrero de 2018

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La circunferencia está llena de relaciones geométricas. Una de las más conocidas es la relación de proporción que se produce cuando irradiamos rectas secantes o tangentes a la cicunferencias desde un punto exterior.

En la ilustración siguiente vemos cómo desde un punto exterior P a una circunferencia de centro O irradiamos una serie de rectas, dos secantes y una tangente a dicha circunferencia, de tal forma que podemos obtener una serie de segmentos que llamaremos PA, PB, PC, PD, PT.




 Pues bien; el producto de los segmentos que se obtienen siempre es constante. A ese valor constante, que llamaremos K, es lo que se denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia de centro O. De tal forma que el producto de los dos sementos PA x PB es el mismo que el producto de los dos segmentos PC x PD, e igual al producto de PT x PT, y de los infinitos segmentos que surjan de irradiar rectas desde el punto P y que corten a la circunferencia dada.


Si unimos los puntos A y D mediante un segmento y los puntos C y B mediante otro segmento obtenemos las siguientes relaciones:

- Sabemos que todo ángulo inscrito en una circunferencia  es la mitad del angulo central de una circunferencia si los dos ángulos abarcan un mismo segmento.La demostración de este postulado lo explicamos esquemáticamente en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/2016/05/angulos-en-la-circunferencia.html

Los ángulos que se forman alfa 1 y alfa 2  están inscritos en la circunferencia y los dos abarcan el mismo segmento, luego los dos son iguales a la mitad del ángulo central. Llegamos, pues a la conclusión de que los dos ángulos son iguales.

- Por el mismo razonamiento, los ángulos beta 1 y beta 2 también son iguales.

- Los ángulos gamma 1 y gamma 2 son iguales también, pues son ángulos opuestos por el vértice.

- Es evidente, entonces, que los triángulos formados por dichos ángulos son semejantes. Tienen la misma forma pero diferente tamaño. Son proporcionales.

- Los triángulos PBC y PDA también son semejantes, pues comparten un mismo ángulo (el omega del vértice común P) y los ángulos beta 1 y beta 2 miden lo mismo.

- Si son semejantes, podemos establecer la siguiente relación de proporción:  PA / PD = PC / PB, luego PA x PB = PC x PD.

- PT viene comprendido por una recta tangente a la circunferencia . La sección producida, pues, se puede concebir como infinitamente pequeña, de tal foma que el punto T es un punto doble, es como un segmento infinitamente pequeño en que sus extremos coinciden, luego:

                                                                                                                               
 PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT al cuadrado.

- De esta relación de proporción se deduce también que el segmento PT es media proporcional entre los segmentos PA y PB o PC y PD. Luego estamos ante un método gráfico muy adecuado para calcular medias proporcionales entre dos segmentos dados.

Es de interés destacar que lo ocurrido  con elsegmento PT es clave para la resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias basados en ejes y centros radicales. Dichos problemas se fundamentan en el siguinete enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/search?q=radical

martes, 30 de enero de 2018

Ejercicios de alfabeto y representación de la recta. 1º de bachillerato.

A continuación ofrecemos una hoja con cuatro ejercicios resueltos sobre representación de la recta en sistema diédrico.

Como vemos, se muestra la obtención de las trazas (v´v y h´h) de las rectas con los planos de proyección, las cuales delimitan los cuadrantes por donde pasan, así como la distinción de las partes vistas y ocultas de las rectas. Recordemos que solo se traza con línea continua la parte de las rectas que está en el primer cuadrante. Observemos también como v y h´siempre están en la línea de tierra. Recordemos que esto último es muy útil para comenzar los ejercicios, ya que al pricipio es difícil visualizar la posición de las rectas.

También se muestran las trazas con los planos bisectores las cuales marcan los octantes por donde pasan.

Se muestran, en orden de izquierda a derecha: una recta R oblicua, una recta T horizontal, una recta F frontal y una recta S de perfil.






La hoja con los problemas sin resolver se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1UN1OQN5wF35BkgqVyExb_5GRwfYkc9PV

Ejercicios redactados sobre el alfabeto y la representación de la recta. 1º de Bachillerato.

A continuación ofrecemos redactados varios ejercicios sobre alfabeto y representación de la recta.

IMPORTANTE:  los datos de dos puntos se establecen en el siguiente orden:

ORIGEN O DESVIACIÓN,  ALEJAMIENTO,  COTA.   (O, A, C)

1. Hallar las proyecciones con los planos de proyección de una recta R determinada por dos puntos:
     A (30, 20, 40) y B (100, -40, -20).
Halla también en la recta:
- Las trazas V y H (v, v´y h, h´) que procedan con los planos de proyección, así como las partes vistas y ocultas de la recta.
- Indicar con números romanos los cuadrantes por donde pasa la recta.
- Las trazas B1 y B2 (b 1, y  b2, 2)  con los planos bisectores (1ºPB y 2ºPB) que procedan, indicando con números los octantes por donde pasa.
 - Opcional: la representación de perfil r" de la recta,verificando los cuadrantes y octantes por donde pasa y comprobando las trazas con los planos bisectores. 


2. Hallar las proyecciones con los planos de proyección de una recta S determinada por dos puntos:
     V (30, 0, 30) y H (80, 30, 0).
Halla también en la recta:
- Las trazas V y H (v, v´y h, h´) que procedan con los planos de proyección, así como las partes vistas y ocultas de la recta.
- Indicar con números romanos los cuadrantes por donde pasa la recta.
- Las trazas B1 y B2 (b 1, y  b2, 2)  con los planos bisectores (1ºPB y 2ºPB) que procedan, indicando con números los octantes por donde pasa.
 - Opcional: la representación de perfil s" de la recta,verificando los cuadrantes y octantes por donde pasa y comprobando las trazas con los planos bisectores. 


3. Hallar las proyecciones con los planos de proyección de una recta T determinada por dos puntos:
     A (50, 20, -20) y B (90, -20, 0).
Halla también en la recta:
- Las trazas V y H (v, v´y h, h´) que procedan con los planos de proyección, así como las partes vistas y ocultas de la recta.
- Indicar con números romanos los cuadrantes por donde pasa la recta.
- Las trazas B1 y B2 (b 1, y  b2, 2)  con los planos bisectores (1ºPB y 2ºPB) que procedan, indicando con números los octantes por donde pasa.
 - Opcional: la representación de perfil t" de la recta,verificando los cuadrantes y octantes por donde pasa y comprobando las trazas con los planos bisectores. 



4. Hallar las proyecciones con los planos de proyección de una recta U determinada por dos puntos:
     A (30, 10, 30) y B (30, 40, 50).
Halla también en la recta:
 -La representación de perfil u" de la recta.
- Las trazas V y H (v, v´y h, h´) que procedan con los planos de proyección, así como las partes vistas y ocultas de la recta.
- Indicar con números romanos los cuadrantes por donde pasa la recta.
- Las trazas B1 y B2 (b 1, y  b2, 2)  con los planos bisectores (1ºPB y 2ºPB) que procedan, indicando con números los octantes por donde pasa.

lunes, 29 de enero de 2018

TB 38. La obra de arte abstracta y la interrelación de las formas planas. 2º ESO.




   Para poder abordar correctamente el presente tema y las actividades que se van a plantear es muy importante saber en primer lugar qué es interrelación de formas planas y qué es una obra de arte abstracta. Para ello vamos a tratar previamente el tema T 23 que se encuentra en este mismo blog mediante el siguiente enlace:

http://dibutodo.blogspot.com.es/2018/01/t-23-interrelaciones-de-formas-planas.htm

Una vez visto el tema, se plantean las siguientes actividades:



ACTIVIDAD 1.


En un formato A/4  se pide:

Realizar una obra abstracto geométrica de composición, formas y tonos completamente libre.

Las figuras no deben sugerir ningún objeto reconocible, no tienen porqué ser totalmente geométricas, basta solo que sean claramente planas.

Se emplearán las diferentes interrelaciones que se pueden establecer con formas planas.

Debe haber al menos cuatro interrelaciones diferentes.

El título del trabajo será: "Interrelaciones de formas planas en una obra abstracta"

Recordemos que las más usadas son: distanciamiento, toque, unión, sustracción, superposición, penetración, intersección y transparencia.

A continuación mostramos ejemplos con trabajos de alumnos resueltos con témperas .

Si nos fijamos en este primer ejercicio que mostramos a la derecha observaremos las siguientes interrelaciones.

- Transparencia en el triángulo superior izquierdo de color azul con circunferencias roja y amarilla.

- Penetración en el triángulo gris inferior con circunferencia celeste.

- Superposición entre la forma anaranjada y el rectángulo azul.

- Toque en la forma puntiaguda rosa de la izquierda con el anillo gris inferior.

Se pueden identificar muchas más.







Un ejercicio de interés es reconocer los casos de interrelaciones que se puedan reconocer en los trabajos que se muestran a continuación.
























 





















ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA.

Realizaremos otra composición con los mismos requisitos que la actividad nº 1, pero con una gama de tonos acromática y usando las interrelaciones que se crean convenientes. Se puede usar hasta solo una si se quiere y que esté presente en toda la composición.

Mostramos ejemplos a continuación.resueltos con témperas.



Fijémonos como en la obra de la izquierda  se ha usado casi en su totalidad la intersección como elemento expresivo.




















ACTIVIDAD DE AMPLIACIÓN.

Busca en internet una obra de arte de algún artista del movimiento suprematista. Imprime la obra y en el papel impreso escribe en qué consiste una obra abstracta, en qué consiste el suprematismo, menciona tres artistas y comenta en la obra que has imprimido qué tipo de interrelaciones de formas se ven en la obra. Procura que la imagen sea pequeña para no gastar tanta tinta. Basta con que tenga unos 80 mm de ancho o de alto.

ACTIVIDAD ADAPTADA.

El primer trabajo, de carácter introductorio se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:
https://drive.google.com/open?id=15xs440EBjzv_ultqRK4dWPK7JV5aktlx

El segundo trabajo, en donde se pide unas instrucciones claras, se decarga en PDF en los dos siguientes enlaces.
https://drive.google.com/open?id=1UUQipYGXBmmYZbcD93Woz-OZe-HZ8Sbe

https://drive.google.com/open?id=1WtZoUv2Oj7AR9T3e7v3fwmNo21LGZwmN

El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1SFqgzQzPhbPinavnZExiXTt8O62CrakJ

domingo, 28 de enero de 2018

T 23. INTERRELACIONES DE FORMAS PLANAS. APLICACIONES EN EL DISEÑO Y EN AL ARTE ABSTRACTO.

Pintura abstracta de Wassily Kandinsky titulada Composición VIII (1923). Dominio Público.



    Recordemos que para sugerir  volumen y espacio a través de un dibujo se pueden emplear varios procedimientos, como son las perspectivas, tanto lineal como aérea, el tamaño o el claroscuro.

                  Pero,

¿Y si trabajamos solamente con formas planas?


   Recordemos que una forma plana no tiene volumen, solo representa dos dimensiones del espacio. Parece pues, algo complicado  trabajar con ellas si  queremos sugerir en la imagen un efecto de que existe espacio más allá de las dos dimensiones.

   Uno de los recursos que más emplean los artistas y diseñadores para sugerir espacio y para componer de forma general usando solo formas planas es relacionarlas entre sí. Este recurso recibe el nombre de interrelación. Existen varias maneras de interrelacionarlas. Veamos las más utilizadas, especificando además las que sugieren sensación de espacio tridimensional, más allá de las dos dimensiones. Para hacerlo de forma sencilla  utilizaremos dos formas planas geométricas.


DISTANCIAMIENTO: las formas quedan separadas entre sí, aunque puedan estar muy cercanas. Este recurso combinado con el tamaño (más grande cerca, más pequeño,lejos) puede sugerir espacio.
 TOQUE: las formas se llegan a tocar, tienen un punto en común entre ellas.
UNIÓN: las formas quedan unidas, de tal manera que generan una única forma nueva.
SUPERPOSICIÓN: una de las formas se dibuja tal como se piensa que es completa y la otra se interrumpe. El efecto conseguido es que una de las formas parece que se superpone a la otra dejando que la otra se siga viendo reconocible.

La superposición es uno de los recursos más empleados para sugerir que hay espacio entre las formas, ya que denota que hay espacio entre las figuras en lo referente a la altura.








 SUSTRACCIÓN: cuando queda sugerida una forma invisible, generalmente del mismo color que el fondo del dibujo, al interaccionar con otra visible.




TRANSPARENCIA: la superposición se manifiesta como si fuesen formas transparentes.
Generalmente la zona común entre las dos formas  se trabaja con un color que es mezcla sustractiva de las dos. Aunque también se puede hacer el efecto con texturas, tal como se ve en la imagen inferior.
La transparencia es otro de los recursos más empleados para sugerir que hay espacio entre las formas.































PENETRACIÓN: la superposición es mutua en las formas, y también es un recurso empleado habitualmente para sugerir que hay espacio entre las formas.


INTERSECCIÓN: la zona correspondiente a la intersección (la común a las dos formas) cambia de color, textura, diferenciándose claramente como una nueva forma.












El recurso de interrelacionar formas planas se usa mucho en el diseño  y el arte. A continuación mostramos varios ejemplos.


El pictograma de la derecha empleado en las escaleras mecánicas es un caso claro de sustracción del fondo blanco que se "come" la figura para dibujar un perro.










El logotipo de lotería y apuestas es un caso claro de superposición de formas circulares.













(Imagen de dominio público)
En la imagen de la derecha mostramos un cartel en donde el tamaño, el valor y la superposición colaboran conjuntamente para sugerir profundidad.















 Un caso muy claro de intersección en el logotipo de la imagen de la derecha

















El arte abstracto.
 El arte abstracto es un estilo de expresión artística que no representa objetos reconocibles, prescindiendo de la figuración, es decir, de la representación de algo real. El resultado es una imagen distinta a la natural. Compone con colores, formas, líneas... Surge a comienzos del siglo XX y sigue vigente hasta hoy día.

 Definido lo que es este arte, no es de extrañar que en un cuadro abstracto las relaciones entre formas constituyen por sí mismo un recurso compositivo y una manera de expresar, es decir, un lenguaje expresivo.





 A la derecha mostramos una obra abstracta del artista Kazimir Malévich (De Kazimir Malévich Forbes, Feb. 2, 2009, Vol. 183, No. 2, p. 48, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5829128)
Fijémonos como la superposición del cuadrado azul a la linea recta y esta a su vez al rectángulo negro es más que evidente. Observemos también cómo existe toque entre el rectángulo naranja y el negro y cómo el distanciamiento entre formas es lo que más abunda.






















La primera pintura abstracta de la historia fue una acuarela abstracta de un artista moscovita llamado Wassily Kandinsky. En la obra abstracta de Kandinsky aparecen las técnicas de interrelaciones de formas planas como todo un elemento expresivo.  El autor dató la obra en 1913. A la derecha: fotografía del artista (Anonymous. Wassily Kandinsky. c 1913. From Wassily Kandinsky (1913). Rückblicke. Berlin: Sturm Verlag. Dominio público.)

En el encabezamiento del tema  hemos colocado una obra suya.


En el siguiente enlace se muestra un conjunto de su obra.   http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/kandinsky/




El tema, algo más resumido esta vez,  se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1_L8OFAH1BvQYobE2HQlJgSszwy-opN7k